LMS自适应对消算法

        LMS算法最小均方误差算法，是一种自适应滤波算法。该算法通过对输入信号进行滤波输出一个信号y(n)，将输出信号与期望输出信号作差得到一个误差信号，再将误差信号输入到自适应滤波器中形成一个反馈回路。LMS算法就通过取得最小均方误差得到的一种算法。算法过程：

 (1)

(2)

其中，式中e(n)、d(n)、x(n)、w(n)分别代表期望信号与滤波器输出信号的误差、期望信号、输入信号和滤波器权值因子。式（2）表示抽头权向量的更新公式，其中λ为迭代步长，取值范围为  0 < λ <  1/λ_max。λ_max表示输入信号的能量。通常情况下 λ 的是跟据经验来确定的，是一个在0到1之间的数。LMS算法步长调整原则：滤波器的收敛速度和稳态误差是一对矛盾。当拥有较大的步长因子会加快滤波器的收敛速度，但同时也会增大稳态失调误差。较小的步长因子会减小滤波器的收敛速度但会拥有较小的稳态误差。

为了克服这一矛盾，在现有固定步长算法的基础上我们提出了新的算法—变步长自适应算法。其优点是步长值随误差的改变而改变。在误差较大的时候步长因子也大以获得更快的收敛速度；当收敛过程接近稳态，误差小的时候其步长因子也小以获得较小的稳态误差。

在固定步长的LMS算法中引入基于正弦函数的步长更新公式：

          (3)

其中参数a用来控制步长大小，参数b用来调整参数变化率的^[2]。u(n)的变化也应该服从固定步长时 λ 的取值要求：0 < λ < 1。该方法在迭代初始时拥有较大速度，在稳态时有较小的稳态误差。

2自适应噪声对消原理

对消器原理如图1所示，对消器由两个传感器组成，其中一个传感器用来接收信号发送端经信道传送过来的信号s和引入的不相关的噪声信号 n₀，组成原始输入信号s + n₀ 。另一个信号是用来接收与n₀相关的噪声信号n₁，n₁是用来给对消器提供一个参考输入。在自适应滤波过程中，滤波器对n₁进行滤波产生一个与n₀相近似的信号输出y。将输出信号y与输入信号s + n₀相减得到误差信号 e(n)。

图1 自适应对消原理

3算法仿真

自适应FIR滤波器阶数为2，输入信号s(n)=sin(2πn)，输入噪声信号n₀(n)为均值为0，方差为0.5的高斯噪声。分别用两种LMS算法对噪声进行消除。

固定步长LMS算法迭代方程：

                                                      (8)

经过大量仿真比较得出 μ=0.02 时收敛特性较好。

变步长LMS算法迭代方程：

                                                  (9)

                                              (10)

通过MATLAB仿真得到参数a、b的最佳参数分别为0.1和1.1。

图2 输入噪声信号和叠加噪声的输入信号

图3 期望信号

图4 权值收敛过程

图5 两种算法滤波后的效果

由图5两种算法滤波去噪后的效果也可以看出改进的变步长LMS算法的收敛速度更快，同时从图4中可以看出在两种算法都收敛稳定的时候，受到外界噪声干扰的时候改进的LMS算法具有更强的抗外界噪声干扰的特性和更小的稳态误差。

详细程序如下:

% %generate a input signal
% %generate two relative wgn as noise signal
clc
clear 
close all
k=0:0.02:10-0.02;
N=length(k);
user=sin(2*pi*k);
n0=normrnd(0,0.3,1,N);
receive=n0+user;        %receive useful signal and noise
M=2;                 %filter order

%LMS
lmd=0.02;
e1=zeros(1,N);
w1=zeros(N,M);
se1=zeros(1,N);

for n= M: N
    x=n0(n:-1:n-M+1);
    y(n)=x*w1(n,:)';
    e1(n)=receive(n)-y(n);
    w1(n+1,:)=w1(n,:)+2*lmd*e1(n)*x;
    
end

% improved LMS
e2=zeros(1,N);
w2=zeros(N,M);
for n= M: N
    x=n0(n:-1:n-M+1);
    y(n)=x*w2(n,:)';
    e2(n)=receive(n)-y(n);
    u(n)=0.1*(1-(sin(1.1*e2(n)^2))/(1.1*e2(n)^2));
    w2(n+1,:)=w2(n,:)+2*u(n)*e2(n)*x;
end

figure
plot(user)
grid on

figure
subplot(2,1,1)
plot(receive);grid on;
title('input signal');
subplot(2,1,2)
plot(n0);grid on;
title('noise signal');

figure
subplot(2,1,1)
plot(e1);grid on;
title('LMS ');
subplot(2,1,2)
plot(e2);grid on;
title('improved LMS');

figure
plot(w1(:,1));
hold on
plot(w2(:,1),'r');
grid on;
legend('LMS weight','improved LMS weight ')

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